本篇内容：
将生态系统不变性定义为A区生物量的平方变异系数的倒数。这些因素可以单纯看作是首先考虑一种特殊场景 中的环境随机效应吗？存在疑问.二维景观 中的IAR。规则分布的具有单位面积的方形斑块 组成，其中当地的生物量（或任何其他种群或生态系统属性）因各种生态因素而波动。为简单起见，我们假设所有斑块的生物量具有相同的时间平均值 （μ） 和方差 （σ） ，还假设时间动力学平稳，则统计学性质不变 ，因此单个斑块的时间变异性、时间不变性相同且不随时间变化 ：
C V 1 2 = σ 2 / μ 2 I 1 = 1 C V 1 2 = μ 2 σ 2 CV_1^2=\sigma^2/\mu^2\\\\ I_1=\frac{1}{CV_1^2}=\frac{\mu^2}{\sigma^2} C V 1 2 = σ 2 / μ 2 I 1 = C V 1 2 1 = σ 2 μ 2
任意两个斑块x,y之间的时间相关性以皮尔逊相关系数 表示(我不知道是不是，原文没说，但是根据下文的公式推测出应该是)假设它仅取决于它们之间的距离 d ，即ρ x y = ρ ( d x , y ) \rho_{xy}=\rho(d_{x,y}) ρ x y = ρ ( d x , y )
ρ x y = C o v ( x , y ) V a r ( x ) V a r ( y ) = C o v ( x , y ) σ 2 \rho_{xy}=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt{Var(x)\sqrt{Var(y)}}}=\frac{Cov(x,y)}{\sigma^2} ρ x y = V a r ( x ) V a r ( y ) C o v ( x , y ) = σ 2 C o v ( x , y )
令A区域中两斑块的平均相关性为
ρ A ˉ = ∑ x , y ∈ A , x ≠ y ρ x , y P ( A , 2 ) = ∑ x , y ∈ A , x ≠ y ρ x , y ( A − 1 ) A \bar{\rho_A}=\frac{\sum_{x,y\in A,x\neq y}\rho_{x,y} }{P(A,2)}=\frac{\sum_{x,y\in A,x\neq y}\rho_{x,y} }{(A-1)A} ρ A ˉ = P ( A , 2 ) ∑ x , y ∈ A , x = y ρ x , y = ( A − 1 ) A ∑ x , y ∈ A , x = y ρ x , y
则覆盖A斑块的区域的联合分布的生物量E ( A ) = A μ E(A)=A\mu E ( A ) = A μ
V a r ( A ) = ∑ x ∈ A V a r ( x ) + ∑ x , y ∈ A , x ≠ y C o v ( x , y ) = A σ 2 + ∑ x ≠ y ρ x y σ 2 = A σ 2 ( 1 + ( A − 1 ) ρ A ˉ ) Var(A)=\sum_{x\in A}Var(x)+\sum_{x,y \in A, x \neq y}Cov(x,y)\\=A\sigma^2+\sum_{x\neq y}{\rho_{xy}\sigma^2}=A\sigma^2(1+(A-1)\bar{\rho_A}) V a r ( A ) = x ∈ A ∑ V a r ( x ) + x , y ∈ A , x = y ∑ C o v ( x , y ) = A σ 2 + x = y ∑ ρ x y σ 2 = A σ 2 ( 1 + ( A − 1 ) ρ A ˉ )
原文这个公式貌似打错了，不知道这里的A代表什么，推测是指A区域有A个patch
I ( A ) = 1 C V 2 ( A ) = E 2 ( A ) V a r ( A ) = A 2 μ 2 A σ 2 ( 1 + ( A − 1 ) ρ A ˉ ) = I 1 ⋅ A 1 + ( A − 1 ) ρ A ˉ I(A)=\frac{1}{CV^2(A)}=\frac{E^2(A)}{Var(A)}=\frac{A^2\mu^2}{A\sigma^2(1+(A-1)\bar{\rho_A})}\\\\=I_1 \cdot \frac{A}{1+(A-1)\bar{\rho_A}} I ( A ) = C V 2 ( A ) 1 = V a r ( A ) E 2 ( A ) = A σ 2 ( 1 + ( A − 1 ) ρ A ˉ ) A 2 μ 2 = I 1 ⋅ 1 + ( A − 1 ) ρ A ˉ A
令ρ A A \rho_{AA} ρ A A 还是前面的问题，这里为什么可以认为这两个A区域的统计学性质（均值方差）相同，果然后面直接把这参数约掉了。。。
ρ A A = C o v ( A 1 , A 2 ) V a r ( A 1 ) V a r ( A 2 ) = C o v ( A 1 , A 2 ) V a r ( A ) \rho_{AA}=\frac{Cov(A_1,A_2)}{\sqrt{Var(A_1)}\sqrt{Var(A_2)}}=\frac{Cov(A_1,A_2)}{Var(A)} ρ A A = V a r ( A 1 ) V a r ( A 2 ) C o v ( A 1 , A 2 ) = V a r ( A ) C o v ( A 1 , A 2 )
V a r ( 2 A ) = V a r ( A 1 + A 2 ) = V a r ( A 1 ) + V a r ( A 2 ) + 2 C o v ( A 1 , A 2 ) = 2 V a r ( A ) + 2 V a r ( A ) ρ A A = 2 V a r ( A ) ( 1 + ρ A A ) Var(2A)=Var(A_1+A_2)\\\\=Var(A_1)+Var(A_2)+2Cov(A1,A2)\\\\=2Var(A)+2Var(A)\rho_{AA}=2Var(A)(1+\rho_{AA}) V a r ( 2 A ) = V a r ( A 1 + A 2 ) = V a r ( A 1 ) + V a r ( A 2 ) + 2 C o v ( A 1 , A 2 ) = 2 V a r ( A ) + 2 V a r ( A ) ρ A A = 2 V a r ( A ) ( 1 + ρ A A )
I ( 2 A ) = 1 C V 2 ( 2 A ) = E 2 ( 2 A ) V a r ( 2 A ) = 4 A 2 μ 2 2 V a r ( A ) ( 1 + ρ A A ) I(2A)=\frac{1}{CV^2(2A)}=\frac{E^2(2A)}{Var(2A)}=\frac{4A^2\mu^2}{2Var(A)(1+\rho_{AA})} I ( 2 A ) = C V 2 ( 2 A ) 1 = V a r ( 2 A ) E 2 ( 2 A ) = 2 V a r ( A ) ( 1 + ρ A A ) 4 A 2 μ 2
在对数-对数尺度上，区域 A 处的 IAR 斜率 可以通过区域 A 和 2A 之间的不变性变化来近似：
Z A = log 2 I ( 2 A ) − log 2 I ( A ) log 2 ( 2 A ) − log 2 ( A ) = log 2 I ( 2 A ) I ( A ) = log 2 4 A 2 μ 2 2 V a r ( A ) ( 1 + ρ A A ) E 2 ( A ) V a r ( A ) = log 2 4 A 2 μ 2 2 V a r ( A ) ( 1 + ρ A A ) A 2 μ 2 V a r ( A ) = log 2 2 1 + ρ A A = 1 − log 2 ( 1 + ρ A A ) Z_A=\frac{\log_2I(2A)-\log_2I(A)}{\log_2(2A)-\log_2(A)}=\log_2\frac{I(2A)}{I(A)}\\\\=\log_2\frac{\frac{4A^2\mu^2}{2Var(A)(1+\rho_{AA})}}{\frac{E^2(A)}{Var(A)}}=\log_2\frac{\frac{4A^2\mu^2}{2Var(A)(1+\rho_{AA})}}{\frac{A^2\mu^2}{Var(A)}}\\\\=\log_2\frac{2}{1+\rho_{AA}}=1-\log_2(1+\rho_{AA}) Z A = log 2 ( 2 A ) − log 2 ( A ) log 2 I ( 2 A ) − log 2 I ( A ) = log 2 I ( A ) I ( 2 A ) = log 2 V a r ( A ) E 2 ( A ) 2 V a r ( A ) ( 1 + ρ A A ) 4 A 2 μ 2 = log 2 V a r ( A ) A 2 μ 2 2 V a r ( A ) ( 1 + ρ A A ) 4 A 2 μ 2 = log 2 1 + ρ A A 2 = 1 − log 2 ( 1 + ρ A A )
因此，区域A( Z A ) (Z_A) ( Z A ) IAR的斜率与两个相邻生态系统与区域A之间的相关成反比 。需要注意的是，正文中的相关-距离函数(即ρ ( d ) \rho(d) ρ ( d ) ρ A A \rho_{AA} ρ A A 尽管后者可能来自前者 。在补充说明2（抽样问题）中，我们表明，在距离给定的情况下，两个生态系统之间的相关性随着生态系统规模的增加而增加 。
上面的推论都是基于：代表x轴的A的值=该区域patch数
文中进行采样计算每一点斜率的方式：
NPP（计算初始区域A->依次合并相邻区域扩大2倍进行采样2A，经过log运算确实是加上一个常数） 。M 2 m M^2 m M 2 m S / M 2 S/M^2 S / M 2
log 2 ( A ) = log 2 ( S / M 2 ) = log 2 S − l o g 2 ( M 2 ) \log_2(A)=\log_2(S/M^2)=\log_2 S-log_2(M^2) log 2 ( A ) = log 2 ( S / M 2 ) = log 2 S − l o g 2 ( M 2 )
在面积扩大为2S时，patch size变为2 M 2 m 2M^2 m 2 M 2 m
log 2 ( 2 A ) = log 2 ( 2 S / M 2 ) = log 2 S − l o g 2 ( M 2 ) + 1 \log_2(2A)=\log_2(2S/M^2)=\log_2 S-log_2(M^2)+1 log 2 ( 2 A ) = log 2 ( 2 S / M 2 ) = log 2 S − l o g 2 ( M 2 ) + 1
则x轴log 2 ( 2 A ) − log 2 ( A ) \log_2(2A)-\log_2(A) log 2 ( 2 A ) − log 2 ( A )
鸟类（面积以采样路线数来衡量，其中IAR图也是这样画的。扩大路线2，4，8……256，406每次扩大2倍。）
初始斜率(Z i n i Z_{ini} Z i n i Z A Z_A Z A Z a s y m Z_{asym} Z a s y m
Z a s y m = lim A → ∞ ln I ( A ) I n ( A ) = lim A → ∞ ln [ I 1 ⋅ A ( A − 1 ) ρ A ˉ + 1 ] ln A = lim A → ∞ [ ln I 1 ln A − l n [ ( 1 − A − 1 ) ρ A ˉ + A − 1 ] ln A ] = lim A → ∞ [ − l n [ ( 1 − A − 1 ) ρ A ˉ + A − 1 ] ln A ] Z_{asym}=\lim_{A \to \infty}\frac{\ln I(A)}{In(A)}=\lim_{A \to \infty}\frac{\ln[I_1\cdot \frac{A}{(A-1)\bar{\rho_A}+1}]}{\ln A}\\\\=\lim_{A \to \infty}[\frac{\ln I_1}{\ln A}- \frac{ln[(1-A^{-1})\bar{\rho_A}+A^{-1}]}{\ln A}]\\\\=\lim_{A \to \infty}[-\frac{ln[(1-A^{-1})\bar{\rho_A}+A^{-1}]}{\ln A}] Z a s y m = A → ∞ lim I n ( A ) ln I ( A ) = A → ∞ lim ln A ln [ I 1 ⋅ ( A − 1 ) ρ A ˉ + 1 A ] = A → ∞ lim [ ln A ln I 1 − ln A l n [ ( 1 − A − 1 ) ρ A ˉ + A − 1 ] ] = A → ∞ lim [ − ln A l n [ ( 1 − A − 1 ) ρ A ˉ + A − 1 ] ]
假设patch总数A = N 2 A=N^2 A = N 2 ρ ( 0 ) = 0 \rho(0)=0 ρ ( 0 ) = 0
ρ A ˉ = ∑ x , y ∈ A , x ≠ y ρ x , y ( A − 1 ) A = 1 N ( N 2 − 1 ) ∑ x 1 = 1 N ∑ x 2 = 1 N ∑ y 1 = 1 N ∑ y 2 = 1 N ρ [ ( ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 ) ] \bar{\rho_A}=\frac{\sum_{x,y\in A,x\neq y}\rho_{x,y} }{(A-1)A}\\\\=\frac{1}{N(N^2-1)}\sum^{N}_{x_1=1}\sum^{N}_{x_2=1}\sum^{N}_{y_1=1}\sum^{N}_{y_2=1}\rho[((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2)] ρ A ˉ = ( A − 1 ) A ∑ x , y ∈ A , x = y ρ x , y = N ( N 2 − 1 ) 1 x 1 = 1 ∑ N x 2 = 1 ∑ N y 1 = 1 ∑ N y 2 = 1 ∑ N ρ [ ( ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 ) ]
令x 1 − x 2 = k x_1-x_2=k x 1 − x 2 = k
k = [ 0 1 2 3 ⋯ N − 1 − 1 0 1 2 ⋯ N − 1 − 2 − 1 0 1 ⋯ N − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 − N 2 − N 3 − N 4 − N ⋯ N − 1 ] k=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & N-1\\\\ -1 & 0 & 1 & 2 & \cdots & N-1\\\\ -2 & -1 & 0 & 1 & \cdots & N-1\\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\\\ 1-N & 2-N & 3-N & 4-N & \cdots & N-1 \end{bmatrix} k = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 − 1 − 2 ⋮ 1 − N 1 0 − 1 ⋮ 2 − N 2 1 0 ⋮ 3 − N 3 2 1 ⋮ 4 − N ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ N − 1 N − 1 N − 1 ⋮ N − 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
k=0，k 2 k^2 k 2
这里用到差比数列求和
k ≠ 0 k \neq 0 k = 0 k 2 k^2 k 2 2 × ( N − k ) 2 \times (N-k) 2 × ( N − k )
s u m = ∑ y 1 = 1 N ∑ y 1 = 1 N [ ∑ k = 0 N − 1 2 ⋅ ( n − k ) k 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 − N ⋅ ρ ( y 1 − y 2 ) 2 ] sum=\sum^{N}_{y_1=1}\sum^{N}_{y_1=1}[\sum^{N-1}_{k=0}2 \cdot(n-k)\sqrt{k^2+(y_1-y_2)^2}-N \cdot \rho \sqrt{(y_1-y_2)^2}] s u m = y 1 = 1 ∑ N y 1 = 1 ∑ N [ k = 0 ∑ N − 1 2 ⋅ ( n − k ) k 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 − N ⋅ ρ ( y 1 − y 2 ) 2 ]
令y 1 − y 2 = k y_1-y_2=k y 1 − y 2 = k
s u m = ∑ k = 0 N − 1 ∑ l = 0 N − 1 [ 2 ⋅ ( N − k ) ⋅ 2 ⋅ ( N − l ) k 2 + l 2 ] − N ∑ k = 0 N − 1 [ 2 ⋅ ( N − k ) ρ ( k 2 + 0 ) ] − N ⋅ ∑ l = 0 N − 1 [ 2 ⋅ ( N − l ) ρ ( l 2 + 0 ) + 2 N 2 ρ ( 0 ) ] = ∑ k = 0 N − 1 ∑ l = 0 N − 1 [ 4 ( N − k ) ( N − l ) k 2 + l 2 ] − 4 ∑ k = 0 N − 1 [ ( N − k ) ρ ( k 2 + 0 ) ] = ∑ k = 0 N − 1 [ 4 ( N − k ) [ ∑ l = 0 N − 1 ρ [ ( N − l ) k 2 + l 2 ] ] − ∑ l = 0 0 [ ( N − l ) ρ ( k 2 + l 2 ) ] ] = ∑ k = 0 N − 1 ∑ l = 1 N − 1 [ 4 ( N − k ) ( N − l ) ρ ( k 2 + l 2 ) ] = ∑ k = 1 N ∑ l = 2 N [ 4 ( N − k + 1 ) ( N − l + 1 ) ρ ( ( k − 1 ) 2 + ( l − 1 ) 2 ) ] sum=\sum^{N-1}_{k=0}\sum^{N-1}_{l=0}[2 \cdot(N-k) \cdot 2 \cdot(N-l)\sqrt{k^2+l^2}]-\\\\N\sum^{N-1}_{k=0}[2\cdot(N-k)\rho(\sqrt{k^2+0})]-N\cdot \sum^{N-1}_{l=0} [2\cdot(N-l) \rho(\sqrt{l^2+0})+2N^2\rho(0)]\\\\=\sum^{N-1}_{k=0}\sum^{N-1}_{l=0}[4(N-k)(N-l)\sqrt{k^2+l^2}]-4\sum^{N-1}_{k=0}[(N-k)\rho(\sqrt{k^2+0})]\\\\=\sum^{N-1}_{k=0}[4(N-k)[\sum^{N-1}_{l=0}\rho[(N-l)\sqrt{k^2+l^2}]]-\sum^{0}_{l=0}[(N-l)\rho(\sqrt{k^2+l^2})]]\\\\=\sum^{N-1}_{k=0}\sum^{N-1}_{l=1}[4(N-k)(N-l)\rho(\sqrt{k^2+l^2})]\\\\=\sum^{N}_{k=1}\sum^{N}_{l=2}[4(N-k+1)(N-l+1)\rho(\sqrt{(k-1)^2+(l-1)^2})] s u m = k = 0 ∑ N − 1 l = 0 ∑ N − 1 [ 2 ⋅ ( N − k ) ⋅ 2 ⋅ ( N − l ) k 2 + l 2 ] − N k = 0 ∑ N − 1 [ 2 ⋅ ( N − k ) ρ ( k 2 + 0 ) ] − N ⋅ l = 0 ∑ N − 1 [ 2 ⋅ ( N − l ) ρ ( l 2 + 0 ) + 2 N 2 ρ ( 0 ) ] = k = 0 ∑ N − 1 l = 0 ∑ N − 1 [ 4 ( N − k ) ( N − l ) k 2 + l 2 ] − 4 k = 0 ∑ N − 1 [ ( N − k ) ρ ( k 2 + 0 ) ] = k = 0 ∑ N − 1 [ 4 ( N − k ) [ l = 0 ∑ N − 1 ρ [ ( N − l ) k 2 + l 2 ] ] − l = 0 ∑ 0 [ ( N − l ) ρ ( k 2 + l 2 ) ] ] = k = 0 ∑ N − 1 l = 1 ∑ N − 1 [ 4 ( N − k ) ( N − l ) ρ ( k 2 + l 2 ) ] = k = 1 ∑ N l = 2 ∑ N [ 4 ( N − k + 1 ) ( N − l + 1 ) ρ ( ( k − 1 ) 2 + ( l − 1 ) 2 ) ]
则
ρ A ˉ = 4 N 2 ( N 2 − 1 ) ∑ k = 1 N ∑ l = 2 N [ ( N − k + 1 ) ( N − l + 1 ) ρ ( ( k − 1 ) 2 + ( l − 1 ) 2 ) ] \bar{\rho_A}=\frac{4}{N^2(N^2-1)}\sum^{N}_{k=1}\sum^{N}_{l=2}[(N-k+1)(N-l+1)\rho(\sqrt{(k-1)^2+(l-1)^2})] ρ A ˉ = N 2 ( N 2 − 1 ) 4 k = 1 ∑ N l = 2 ∑ N [ ( N − k + 1 ) ( N − l + 1 ) ρ ( ( k − 1 ) 2 + ( l − 1 ) 2 ) ]
考虑了两种类型的相关距离函数ρ \rho ρ 【这里为什么分别选轻尾里面的指数和重尾里面的幂律分布】
ρ ( d ) = ρ 1 × e − ( d − 1 ) / L \rho(d)=\rho_1 \times e^{-(d-1)/L} ρ ( d ) = ρ 1 × e − ( d − 1 ) / L ρ 1 \rho_1 ρ 1 ρ A \rho_A ρ A
ρ A ˉ = 4 ρ 1 N 2 ( N 2 − 1 ) ∑ k = 1 N ∑ l = 2 N [ ( N − k + 1 ) ( N − l + 1 ) exp ( − ( k − 1 ) 2 + ( l − 1 ) 2 − 1 L ) ] \bar{\rho_A}=\frac{4\rho_1}{N^2(N^2-1)}\sum^{N}_{k=1}\sum^{N}_{l=2}[(N-k+1)(N-l+1)\exp(-\frac{\sqrt{(k-1)^2+(l-1)^2}-1}{L})] ρ A ˉ = N 2 ( N 2 − 1 ) 4 ρ 1 k = 1 ∑ N l = 2 ∑ N [ ( N − k + 1 ) ( N − l + 1 ) exp ( − L ( k − 1 ) 2 + ( l − 1 ) 2 − 1 ) ]
因为x + y 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ x + y , 当 x , y > 0 \frac{x+y}{\sqrt{2}} \leq \sqrt{x^2+y^2} \leq x+y,当x,y \gt 0 2 x + y ≤ x 2 + y 2 ≤ x + y , 当 x , y > 0
4 ρ 1 N 2 ( N 2 − 1 ) ∑ k = 1 N ∑ l = 2 N [ ( N − k + 1 ) ( N − l + 1 ) exp ( − ( k + l − 2 ) / 2 − 1 L ) ] < ρ A ˉ < 4 ρ 1 N 2 ( N 2 − 1 ) ∑ k = 1 N ∑ l = 2 N [ ( N − k + 1 ) ( N − l + 1 ) exp ( − k + l − 3 L ) ] \frac{4\rho_1}{N^2(N^2-1)}\sum^{N}_{k=1}\sum^{N}_{l=2}[(N-k+1)(N-l+1)\exp(-\frac{(k+l-2)/\sqrt{2}-1}{L})]\\\\ \lt \bar{\rho_A}\lt \frac{4\rho_1}{N^2(N^2-1)}\sum^{N}_{k=1}\sum^{N}_{l=2}[(N-k+1)(N-l+1)\exp(-\frac{k+l-3}{L})] N 2 ( N 2 − 1 ) 4 ρ 1 k = 1 ∑ N l = 2 ∑ N [ ( N − k + 1 ) ( N − l + 1 ) exp ( − L ( k + l − 2 ) / 2 − 1 ) ] < ρ A ˉ < N 2 ( N 2 − 1 ) 4 ρ 1 k = 1 ∑ N l = 2 ∑ N [ ( N − k + 1 ) ( N − l + 1 ) exp ( − L k + l − 3 ) ]
令α = exp ( − 1 / L ) \alpha=\exp(-1/L) α = exp ( − 1 / L )
r i g h t = 4 ρ 1 α − 3 N 2 ( N 2 − 1 ) ∑ k = 1 N ∑ l = 2 N [ ( N − k + 1 ) ( N − l + 1 ) exp ( − k + l L ) ] = 4 ρ 1 α − 3 N 2 ( N 2 − 1 ) ∑ k = 1 N ∑ l = 2 N [ ( N − k + 1 ) exp ( − k L ) ( N − l + 1 ) exp ( − l L ) ] = 4 ρ 1 α − 3 N 2 ( N 2 − 1 ) ∑ k = 1 N ∑ l = 2 N [ ( N + 1 − k ) ⋅ α k ( N + 1 − l ) ⋅ α l ] = 4 ρ 1 α − 3 N 2 ( N 2 − 1 ) ∑ k = 1 N [ ( N + 1 − k ) ⋅ α k ⋅ [ ( N + 1 ) ⋅ ( α 2 ( 1 − α N − 1 ) 1 − α ) − ( N ⋅ α N + 1 − α 2 α − 1 + α 2 ( 1 − α N − 1 ) ( 1 − α ) 2 ) ] ] = 4 ρ 1 α − 3 N 2 ( N 2 − 1 ) ∑ k = 1 N [ ( N + 1 − k ) ⋅ α k ⋅ ( N α 2 1 − α − α 2 ( 1 − α N ) ( 1 − α ) 2 ) ] = 4 ρ 1 α − 3 N 2 ( N 2 − 1 ) ( N α 1 − α − α 2 ( 1 − α N ) ( 1 − α ) 2 ) ( N α 2 1 − α − α 2 ( 1 − α N ) ( 1 − α ) 2 ) < 4 ρ 1 α − 3 N 4 ⋅ N 2 α 3 ( 1 − α ) 2 = 4 ρ 1 N 2 ( 1 − α ) 2 ≜ C 1 A right=\frac{4\rho_1 \alpha^{-3}}{N^2(N^2-1)}\sum^{N}_{k=1}\sum^{N}_{l=2}[(N-k+1)(N-l+1)\exp(-\frac{k+l}{L})]\\\\=\frac{4\rho_1 \alpha^{-3}}{N^2(N^2-1)}\sum^{N}_{k=1}\sum^{N}_{l=2}[(N-k+1)\exp(-\frac{k}{L})(N-l+1)\exp(-\frac{l}{L})]\\\\=\frac{4\rho_1 \alpha^{-3}}{N^2(N^2-1)}\sum^{N}_{k=1}\sum^{N}_{l=2}[(N+1-k)\cdot\alpha^k(N+1-l)\cdot\alpha^l]\\\\=\frac{4\rho_1 \alpha^{-3}}{N^2(N^2-1)}\sum^{N}_{k=1}[(N+1-k)\cdot\alpha^k\cdot \\\\ [(N+1)\cdot (\frac{\alpha^2(1-\alpha^{N-1})}{1-\alpha})-( \frac{N \cdot\alpha^{N+1}-\alpha^2}{\alpha-1}+\frac{\alpha^2(1-\alpha^{N-1})}{(1-\alpha)^2})]]\\\\=\frac{4\rho_1 \alpha^{-3}}{N^2(N^2-1)}\sum^{N}_{k=1}[(N+1-k)\cdot\alpha^k\cdot (\frac{N\alpha^2}{1-\alpha}-\frac{\alpha^2(1-\alpha^N)}{(1-\alpha)^2})]\\\\=\frac{4\rho_1 \alpha^{-3}}{N^2(N^2-1)}(\frac{N\alpha}{1-\alpha}-\frac{\alpha^2(1-\alpha^N)}{(1-\alpha)^2}) (\frac{N\alpha^2}{1-\alpha}-\frac{\alpha^2(1-\alpha^N)}{(1-\alpha)^2})\\\\ \lt \frac{4\rho_1 \alpha^{-3}}{N^4}\cdot\frac{N^2\alpha^3}{(1-\alpha)^2}=\frac{4\rho_1}{N^2(1-\alpha)^2} \triangleq \frac{C1}{A} r i g h t = N 2 ( N 2 − 1 ) 4 ρ 1 α − 3 k = 1 ∑ N l = 2 ∑ N [ ( N − k + 1 ) ( N − l + 1 ) exp ( − L k + l ) ] = N 2 ( N 2 − 1 ) 4 ρ 1 α − 3 k = 1 ∑ N l = 2 ∑ N [ ( N − k + 1 ) exp ( − L k ) ( N − l + 1 ) exp ( − L l ) ] = N 2 ( N 2 − 1 ) 4 ρ 1 α − 3 k = 1 ∑ N l = 2 ∑ N [ ( N + 1 − k ) ⋅ α k ( N + 1 − l ) ⋅ α l ] = N 2 ( N 2 − 1 ) 4 ρ 1 α − 3 k = 1 ∑ N [ ( N + 1 − k ) ⋅ α k ⋅ [ ( N + 1 ) ⋅ ( 1 − α α 2 ( 1 − α N − 1 ) ) − ( α − 1 N ⋅ α N + 1 − α 2 + ( 1 − α ) 2 α 2 ( 1 − α N − 1 ) ) ] ] = N 2 ( N 2 − 1 ) 4 ρ 1 α − 3 k = 1 ∑ N [ ( N + 1 − k ) ⋅ α k ⋅ ( 1 − α N α 2 − ( 1 − α ) 2 α 2 ( 1 − α N ) ) ] = N 2 ( N 2 − 1 ) 4 ρ 1 α − 3 ( 1 − α N α − ( 1 − α ) 2 α 2 ( 1 − α N ) ) ( 1 − α N α 2 − ( 1 − α ) 2 α 2 ( 1 − α N ) ) < N 4 4 ρ 1 α − 3 ⋅ ( 1 − α ) 2 N 2 α 3 = N 2 ( 1 − α ) 2 4 ρ 1 ≜ A C 1
令β = exp ( − 1 / ( 2 L ) ) \beta=\exp(-1/(\sqrt{2}L)) β = exp ( − 1 / ( 2 L ) )
l e f t = 4 ρ 1 β − 2 N 2 ( N 2 − 1 ) ( N β 1 − β − β 2 ( 1 − β N ) ( 1 − β ) 2 ) ( N β 2 1 − β − β 2 ( 1 − β N ) ( 1 − β ) 2 ) left=\frac{4\rho_1 \beta^{-\sqrt{2}}}{N^2(N^2-1)}(\frac{N\beta}{1-\beta}-\frac{\beta^2(1-\beta^N)}{(1-\beta)^2}) (\frac{N\beta^2}{1-\beta}-\frac{\beta^2(1-\beta^N)}{(1-\beta)^2}) l e f t = N 2 ( N 2 − 1 ) 4 ρ 1 β − 2 ( 1 − β N β − ( 1 − β ) 2 β 2 ( 1 − β N ) ) ( 1 − β N β 2 − ( 1 − β ) 2 β 2 ( 1 − β N ) )
当N → ∞ N \to \infty N → ∞ = C 2 A =\frac{C2}{A} = A C 2 Z a s y m Z_{asym} Z a s y m N → ∞ N \to \infty N → ∞ C 2 A − 1 < ρ A ˉ < C 1 A − 1 C_2 A^{-1} \lt \bar{\rho_A} \lt C_1 A^{-1} C 2 A − 1 < ρ A ˉ < C 1 A − 1
− l n [ ( 1 + A − 1 ) C 2 A − 1 + A − 1 ] l n A < Z a s y m < − l n [ ( 1 + A − 1 ) C 1 A − 1 + A − 1 ] l n A -\frac{ln[(1+A^{-1})C_2A^{-1}+A^{-1}]}{lnA}\lt Z_{asym} \lt -\frac{ln[(1+A^{-1})C_1A^{-1}+A^{-1}]}{lnA} − l n A l n [ ( 1 + A − 1 ) C 2 A − 1 + A − 1 ] < Z a s y m < − l n A l n [ ( 1 + A − 1 ) C 1 A − 1 + A − 1 ]
左右两边的极限都为1，因此渐进斜率
Z a s y m = 1 Z_{asym}=1 Z a s y m = 1
ρ ( d ) = ρ × d − α \rho(d)=\rho\times d^{-\alpha} ρ ( d ) = ρ × d − α
在这种情况下，IAR在对数-对数尺度上是准线性的（图1b）。当 ρ 1 较小时，初始斜率较高，渐近斜率收敛于 α/2（α < 2 时）或 1（α ≥ 2 时）（参见方法）。
对含有k和l的式子放缩 N N/a
可得c 2 A − α / 2 < ρ A ˉ < c 1 A − α / 2 c_2A^{-\alpha/2}\lt \bar{\rho_A}\lt c_1A^{-\alpha/2} c 2 A − α / 2 < ρ A ˉ < c 1 A − α / 2
ln [ ( 1 + A − 1 ) c 1 A − α / 2 + A − 1 ] l n A < Z a s y m < − ln [ ( 1 + A − 1 ) c 1 A − α / 2 + A − 1 ] l n A \frac{\ln[(1+A^{-1})c_1A^{-\alpha/2}+A^{-1}]}{lnA} \lt Z_{asym} \lt -\frac{\ln[(1+A^{-1})c_1A^{-\alpha/2}+A^{-1}]}{lnA} l n A ln [ ( 1 + A − 1 ) c 1 A − α / 2 + A − 1 ] < Z a s y m < − l n A ln [ ( 1 + A − 1 ) c 1 A − α / 2 + A − 1 ]
A→∞，
lim A → ∞ − ln [ ( 1 + A − 1 ) c 1 A − α / 2 + A − 1 ] l n A = lim A → ∞ − ln [ [ ( 1 + A − 1 ) c 1 A − α / 2 + 1 + 1 ] ⋅ A − 1 ] l n A = lim A → ∞ − ln ( c 1 A − α / 2 + 1 + 1 ) l n A + 1 \lim_{A\to \infty}-\frac{\ln[(1+A^{-1})c_1A^{-\alpha/2}+A^{-1}]}{lnA}\\\\=\lim_{A\to \infty}-\frac{\ln[[(1+A^{-1})c_1A^{-\alpha/2+1}+1]\cdot A^{-1}]}{lnA}\\\\=\lim_{A\to \infty}-\frac{\ln(c_1A^{-\alpha/2+1}+1)}{lnA}+1 A → ∞ lim − l n A ln [ ( 1 + A − 1 ) c 1 A − α / 2 + A − 1 ] = A → ∞ lim − l n A ln [ [ ( 1 + A − 1 ) c 1 A − α / 2 + 1 + 1 ] ⋅ A − 1 ] = A → ∞ lim − l n A ln ( c 1 A − α / 2 + 1 + 1 ) + 1
Z a s y m = { 1 if α ≥ 2 α / 2 if α < 2 Z_{asym}=\begin{cases} 1 &\text{if } \alpha \geq 2 \\\\\alpha/2 &\text{if } \alpha \lt 2 \end{cases} Z a s y m = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 1 α / 2 if α ≥ 2 if α < 2
在指数函数下,它趋向于通用渐近斜率(即1)的收敛速率随衰减率(1/L)的增加而增加;随着幂律相关距离函数中指数(α)的增加,IAR的渐近斜率也增加。23 经常这样做），则斜率将随着局部相关性而减小 (ρ 1 \rho_1 ρ 1
Z A Z_A Z A ρ A \rho_A ρ A 不存在相关性 的情况下（即 ρ x y = 0 , I ( A ) = I 1 A \rho_{xy}=0,I(A)=I_1A ρ x y = 0 , I ( A ) = I 1 A IAR 在双对数刻度上的斜率是 1 （图 1）。当斑块完全相关 时（即 ρ x y = 1 \rho_{xy}=1 ρ x y = 1 I ( A ) = I 1 I(A)=I_1 I ( A ) = I 1 24 ,25 ,26 ,27 。
在对数-对数尺度上，IAR呈现出三相曲线，即不变性 首先随着面积的增加而急剧增加，然后增加得更慢，最终在L 2 L^2 L 2
三相IAR可以理解如下。在区域 L 内，斑块间相关性随距离变化而略有变化，并保持在ρ 1 \rho_1 ρ 1 ;这种关系导致不变性在开始时随面积相对较快地增加，但增加速度减慢，并趋于在L 2 L^2 L 2 L 2 L^2 L 2 。
其中块间相关性始终等于 ρ1 ，无论距离如何（其中 0 < ρ1 < 1），IAR可表示为：I ( A ) = I 1 ⋅ A 1 + ( A − 1 ) ρ 1 I(A)=I_1 \cdot \frac{A}{1+(A-1)\rho_1} I ( A ) = I 1 ⋅ 1 + ( A − 1 ) ρ 1 A Z i n i = 1 − log 2 ( 1 + ρ A A ) Z_{ini}=1-\log_2(1+\rho_{AA}) Z i n i = 1 − log 2 ( 1 + ρ A A ) I ( ∞ ) = I 1 / ρ 1 I(\infty)=I_1/\rho_1 I ( ∞ ) = I 1 / ρ 1 开始时随着面积A的增加而增加，当A很大时收敛到一个常数，即IAR的渐近斜率为0 （补充说明图1a）。i ( X i ) i(X_i) i ( X i ) X i = n 0 + E + D i Xi = n_0 + E + D_i X i = n 0 + E + D i n 0 n_0 n 0 v e v_e v e v d v_d v d 景观水平的demographic stochasticity和斑块水平的demographic stochasticity 。我们假设E E E D i D_i D i D i D_i D i D j D_j D j effect of demographic stochasticity 随着所考虑的区域而减小 。因此,随着区域变大,生物量的不变性应当在某一【仅仅反映了environmental stochasticity】点收敛：一个补丁的不变性是：n 0 2 / ( v e + v d ) n_0^2/(v_e + v_d) n 0 2 / ( v e + v d ) n 0 2 / ( v e + v d / 2 ) n_0^2/(v_e + v_d/2) n 0 2 / ( v e + v d / 2 ) ( A n 0 ) 2 / ( A 2 v e + A v d ) = n 0 2 / ( v e + v d / A ) (An_0)^2/(A^2v_e + Av_d)=n_0^2/(v_e + v_d/A) ( A n 0 ) 2 / ( A 2 v e + A v d ) = n 0 2 / ( v e + v d / A ) 在开始时表现出较快的面积增加；当 A 较大时，增加速度减慢，不变性收敛于 n 0 / v e n_0/v_e n 0 / v e 。
在区域 L 内，块间相关性随着距离的增加非常缓慢地下降（例如，在距离 L 处，块间相关性为 0.37×ρ1左右，仍然与 ρ1 具有相同的量级）。因此，如果 L 很大，我们可以预期 IAR 在开始时表现出快速增加，然后在 L 附近出现“平坦阶段 ”。请注意，因为块间相关性通常低于 ρ1【尽管始终处于相同的量级】 ρ1），这个“平坦阶段”的不变性大于 1/ρ1（补充说明图 1b）。
范围和分辨率 分别由x轴上的最大和最小区域表示。
对于采样强度,考察了在连续景观(即完整栅格) （初级生产力数据）下的IAR；在非连续景观(即由于不完全采样 而产生的空间分离栅格 )（鸟类数据）下的IAR。结果表明不完整的空间采样可能会增加 IAR 的斜率。
IAR基于对景观的“全面观察”构建 。事实上，实地调查可能只覆盖整个景观的一小部分，例如BBS。在这里，我们通过基于景观的随机采样比例 构建 IAR 来探讨不完全采样对 IAR 的影响。局部生态系统动态具有相同的时间平均值和变异性 ，并且斑块间相关性随着距离遵循幂函数 而衰减：ρ(d) = ρ1×d-α。从整个景观中随机采样一定比例的网格（例如1/4、1/16、1/64等），可以将其视为实证研究中的采样区域。根据这些采样网格构建 IAR，遵循与鸟类数据实证分析类似的程序: 从一个（采样的）网格开始，我们通过包含最近的邻居（采样的）网格来增加网格的数量。我们计算了每个“区域”的时间不变性，从而生成了IAR。注意，正如我们对BBS数据的分析一样，这里的“面积”是采样的面积，或者说是网格的数量。
不完整的采样往往会增加 IAR 的斜率（补充图 2）。通过将采样区域（或网格数量）乘以每个样本的平均“代表区域”（即分别为 4、16、64）来重新调整采样区域（或网格数量），这代表了采样工作的空间范围（补充图 2） 。但请注意，这种重新缩放不会改变对数尺度上不变性和面积之间的斜率（但它会改变截距）。【这里写的好模糊】
采样分辨率，由于数据限制（例如鸟类生物量数据每年收集一次）【好像ebird每个月都有】和研究兴趣（例如感兴趣的是NPP的年，而不是季节），将其固定为一年。至于采样强度，我们固定为每年一次。时间序列相对较短（即 NPP 数据：15 年；鸟类数据：21 年） ，对时间尺度这些方面的研究可能对 IAR 的未来研究有用。